妻が家計簿を整理しつつ、
レシートを眺めていると、
妻「結構ポイントたまって来てるね！」
私「何かに使おうか」
妻「A店のポイントは現金に代えれるの」
私「え、じゃあ実質の還元率を考えるとA店の方が得なんだね」
妻「どういうこと？」
近くには、A店とB店という二つのスーパーがあり、
どちらも100円で1ポイントが貯まるというポイントサービスを行っています。
どちらも、1ポイント1円分として使えるのですが、
A店ではポイントをそのまま現金に換えることができ、
B店ではポイント分で買い物の値引きができます。
なぜ、私はA店の方が得だと思ったのでしょう。
ポイントでの支払いにポイントはつかない
妻「どっちも100円で1ポイント、1円分なんだから一緒じゃないの？」
私「でもA店は現金で返ってくるから、そこにもポイントがつくでしょ？」
妻「どういうこと？現金で返ってきた方が、他の店でも使えるからそっちの方が嬉しいのは分かるけど、
やっぱり、100円で1円だから、1%還元は同じじゃないの？」
私「B店の場合、ポイントで値引いた分にはポイントがつかないでしょ？」
妻「？そうだよ？それがどうかしたの？」
ポイントサービスの場合、よくあるのが、
ポイントで支払った金額にはポイントが付かないというものです。
B店でも同様に、ポイントで払った金額分はポイントがつかないのです。
つまり、1000円の商品を買う時に、400円分をポイントで支払い、
残りの600円を普通に支払ったとすると、
600円の1％分、つまり6ポイントがもらえます。
現金で返ってくれば返ってきた分にもポイントがつく
私「A店で現金として返ってきたお金でA店でまた買い物すれば、
ポイントはそのままつくよね？」
妻「それはそうだけど」
私「ということは、A店は還元された分にもさらにポイントがつくけど、
B店は還元された分にはポイントがつかないんだよ」
妻「なるほど。でもそれってほとんど変わらないんじゃないの？」
上の場合と同様に、1000円の商品を、400円分は還元された現金で支払い、
追加で600円払ったとすると、当然、1000円を普通に払ったのと同じで、
10ポイント がもらえます。
同じように、400ポイント分を使ったのに、
B店では6ポイント、A店では10ポイント返ってきたので、
A店の方が少しだけ得になります。
実質1.01%還元
私「A店の実質還元率はB店の1%よりも大きいことは確実だけど、
それがいくらなのかは複利で計算できる」
妻「もうギブアップ」
A店では、最初に10000円支払ったとすると、
100ポイントがもらえます。
その100ポイントでさらに買い物をすると、
1ポイントが返ってきます。
上の例だと、金額が小さいのですが、
最初に払った金額をx円として、
その後、ポイントで支払いを繰り返すとすると、
x 円の支払い
0.01x円の支払い（ポイント）
0.0001x円の支払い（ポイント）
のように、初めのx円だけで、
何重にもポイント支払いができます。
結局、上のポイントの合計は、
0.01x , 0.0001x, ...
という無限等比級数の和になるので、
公式から、
およそ 0.0101x となります。
つまり、元の金額xに対して、
約 1.01% がポイントとして還元されることになります。
たしかに微々たるものでしたね。
まとめ
ポイントを現金に換えれる制度が珍しく、
複利的にポイントもらえると思って喜んだのですが、
確かにほとんど変わらないという妻の直観は正しかったですね。
