総和を計算する和の公式は高校数学で学びますが、
ちょっと変わった和の計算をしてみましょう。

等比数列 $a^0, a^1, a^2, \cdots$ に近いのですが、
累乗の部分が二つの変数 $n,m$ の差の絶対値で表されていて、
丁度、次の表の全部を足し合わせるような計算を考えます。

n \ m	1	2	3
1	$a^{\|1-1\|}$	$a^{\|1-2\|}$	$a^{\|1-3\|}$
2	$a^{\|2-1\|}$	$a^{\|2-2\|}$	$a^{\|2-3\|}$
3	$a^{\|3-1\|}$	$a^{\|3-2\|}$	$a^{\|3-3\|}$

問題

上の計算をきちんと式で表すと次のような総和の計算になります。

$\sum_{n=1}^{l} \sum_{m=1}^{l} a^{|n-m|}$

$l$ は総和の範囲をしていしていて、上の表の場合は、
$l=3$ になります。

解法のアイデア

そのままの式だと、計算が難しそうなので、
知っている形に変形できないかを考えます。

この計算では絶対値が厄介ですが、
絶対値は必ずなにかしらの整数 $k$ の値をとります。
その時、 $a^{|n-m|} = a^k$ とただの累乗になるので、
$|n-m| =k$ の値によって分けると良さそうな気がします。

実際、 $|n-m|=0$ となるのは、 $n=m$ の $l$ 通り、
$|n-m|=1$ となるのは、 $n=m+1$ または $m=n+1$ の $2(l-1)$ 通り
同様に、 $|n-m|=k (0 \lt k \lt l)$ となるのは、 $2(l-k)$ 通りになります。ただし、 $|n-m|=0$ は場合の数が少し特殊であることに注意しましょう。

つまり、最初の表の中身を $a^{|n-m|}$ の値毎にリストアップすると

値	個数
$a^0$	$l$
$a^1$	$2(l-1)$
$a^2$	$2(l-2)$
...	...

となり、これを全部足し合わせればよいことが分かります。

そのため、求める総和の式は次のように変形できます。

$\sum_{n=1}^{l} \sum_{m=1}^{l} a^{|n-m|} = l a^0 + 2(l-1) a^1 + 2(l-2) a^2 + \cdots$

これで、式の中から絶対値が消えたので、
計算を進めることができそうです。

知ってる総和の形に

後は、計算を進めていくだけですが、
その時のポイントは、
「知ってる総和の形に変形して、総和の公式を利用する」です。

$a^0$ だけは他と少し違うので、
その部分だけ分けて、 $k$ について総和をまとめると $\sum_{n=1}^{l} \sum_{m=1}^{l} a^{|n-m|} = la^{0} + \sum_{k=1}^{l} 2(l-k)a^k \\ = l + 2l\sum_{k=1}^l a^k - 2\sum_{k=1}^l ka^k$
となります。

このように、等比数列の和 $\sum_{k=1}^l a^k$ と、
等差×等比数列の和 $\sum_{k=1}^l ka^k$ を
計算すればよいということが分かりました。

計算

後は、次の総和の結果を利用すれば、計算完了です。
$\sum_{k=1}^l a^k = a\frac{1-a^l}{1-a}$
$\sum_{k=1}^l k a^k = \frac{a(1-a^l)}{(1-a)^2} - \frac{la^{l+1}}{1-a}$

上を使って、式を整理すると、
$\sum_{n=1}^{l} \sum_{m=1}^{l} a^{|n-m|} = \frac{1+a}{1-a}l - \frac{2a(1-a^l)}{(1-a)^2}$
となります。

n \ m	1	2	3
1	$a^{\|1-1\|}$	$a^{\|1-2\|}$	$a^{\|1-3\|}$
2	$a^{\|2-1\|}$	$a^{\|2-2\|}$	$a^{\|2-3\|}$
3	$a^{\|3-1\|}$	$a^{\|3-2\|}$	$a^{\|3-3\|}$

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絶対値乗の総和

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